1028 Exponentiele groei. Waterlelies, Voetbalstadions.

Ik heb het de afgelopen  maanden al vaak uitgelegd, meestal met behulp van het voetbalstadion waar je elke seconde water in gooit, maar wel elke seconde verdubbelt wat er al in zit. 
Om 12 uur begonnen met 1 druppel staat er 45 minuten later een halve m,ilimeter water in dat stadion.  Even veel als na een kwartier motregen. 
Eén persoon slaat alarm,. Hij begrijpt wat 'exponentiële toename' is.
De man wordt uiteraard uitgelachen.

Maar 5 minuten later verdrinken alle toeschouwers,. tot op de hoogste tribunes. 


Met dank aan De Volkskrant:  

COLUMNIONICA SMEETS

Het raadsel van de waterlelie zegt iets over het probleem van de exitstrategie

24 april 2020

Deze week een klassiek raadsel dat, zoals zo vaak bij wiskunde, van toepassing blijkt op de actualiteit.

In een vijver groeit een bijzondere waterlelie. Deze plant verdubbelt elke dag in grootte. Na 24 dagen is de vijver helemaal bedekt met lelies. Op welke dag is de helft van de vijver bedekt?

Intuïtief denken veel mensen aan ‘twaalf dagen’ als antwoord. Het gaat over 24 dagen, dus de helft zal dan wel twaalf zijn. Maar het woord verdubbelen geeft het eigenlijk al weg: als de plant zich elke dag verdubbelt, dan heb je met een halfvolle vijver op dag 23 een compleet bedekte vijver op dag 24. Dus juiste antwoord is: na 23 dagen.

Weer dezelfde vijver en diezelfde waterlelie die elke dag in grootte verdubbelt waarbij na 24 dagen het complete vijveroppervlak vol zit met waterlelie. Hoeveel procent van de vijver is op dag twaalf bedekt met waterlelies?

Probeer hierbij eens snel een schatting te maken. Hoeveel procent denk je, zonder al te veel rekenen? Je weet uit de vorige vraag dat 50 procent in elk geval niet het goede antwoord is.

Je kunt dit stap voor stap terugrekenen, op dag 22 zat je op 25 procent, de dag daarvoor op 12,5 procent. Enzovoorts, tot je ziet dat na twaalf dagen slechts 0,024 procent van het oppervlak van de vijver was bedekt. Ik durf te wedden dat de meeste lezers een stuk hoger zaten met hun eerste gok: deze zogenoemde exponentiële groei is behoorlijk lastig in te schatten.

Stel je toch eens voor dat dit jouw vijver is. Je ziet op dag één een waterlelie, op dag twee zijn het er twee. Je maakt je geen zorgen. Dit gaat allemaal niet zo hard. Na twaalf dagen is nog 99,98 procent van je vijver keurig waterlelievrij. Je negeert de vijver ruim anderhalve week en als je weer eens gaat kijken, dan is alles overwoekerd.

Weer dezelfde vijver, maar nu een waterlelie die elke dag met een factor drie in plaats van een factor twee groeit. Hoelang duurt het nu voor de vijver helemaal bedekt is?

Uit de vorige opgaven kun je terugrekenen dat die eenzame eerste waterlelie 0,000012 procent van het wateroppervlak bedekt. Nu doe je dit per dag maal drie, dus op dag twee eindig je met 0,000036 procent bedekte vijver. Zo ga je door en op dag 15 is ruim 57 procent van de vijver bedekt en al op dag 16 raakt je vijver compleet vol.

En dan nu de beloofde verbinding met de actualiteit: de berekeningen waar Angela Merkel naar verwees toen zij vorige week uitlegde hoe lastig het is om een goede exitstrategie te bepalen gaan over exponentiële groei als in de vijver (maar dan een stuk ingewikkelder). Merkel legde uit dat Duitsland nu op een besmettingsgetal van 1 zit, wat betekent dat elke coronapatiënt gemiddeld één iemand besmet en dat de epidemie beheersbaar is. Maar als je maatregelen versoepelt, dan gaat het besmettingsgetal misschien naar 1,1 wat zou betekenen dat het Duitse zorgsysteem in oktober overbelast raakt. Stijgt het besmettingsgetal naar 1,2, wat nauwelijks hoger klinkt, dan is het systeem al overbelast in juli.

Dit soort berekeningen kun je ongetwijfeld ook maken voor Nederland. En de boodschap van Merkel is universeel: een goede exitstrategie luistert heel, heel nauw.